五邊形數定理

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \phi(q)} 展開式的特性^[1] ^[2]。歐拉函數的展開式如下：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}{2}}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}}}

亦即

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.}

歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。

若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。

和分割函數的關係

歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k}

其中解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(k)} 為k的分割函數。

上式配合五邊形數定理，可以得到

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle (1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1}

考慮解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x^n} 項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0}

因此可得到分割函數p(n)的递归式

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots}

以n=10為例

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42}

參考資料

^ 原文為Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti $(1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})$ etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55.
^ 英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product $(1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x^{6})$ etc. into a Single Series》，http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.