力學中的位移場是指物體當中的所有點,其位移向量所組成的向量場[1][2]。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準,標明其新的位置。例如,固體形變的效果就可以用位置場來表示。
在考慮位移之前,需要定義形變之前的狀態。此狀態下,所有點的座標都知道,而且可以用以下函數描述:
其中
是位移向量
是物體的所有點
是物體的所有點在空間中的位置。
此一狀態也常常是沒有外力的狀態。
給定物體的其他狀態,其中所有點的座標可以用
來描述,則二個物體狀態之間的位移場為:
其中
是位移場,物體的每一個點都有一個對應的位移向量。
連續體的運動
物體的位移可以分為二個分量:剛體位移以及形變。
- 剛體位移包括物體的平移或旋轉,物體的形狀、大小都維持不變。
- 形變表示物體形狀或大小的變化,從未形變的組態
變成形變後的組態
。
連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場,可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變,若且唯若物體出現形變。若物體有位移,但沒有形變,即為剛體運動。
依照Lagrange描述法及Eulerian描述法,可以定義兩種位移梯度張量。
粒子i的位移可以表示為下式。未變形組態
的粒子,在變形組態
,其位移向量為
,以下表示為
或
。
用
代替
,用
代替
,這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量,可得位移向量的Lagrangian描述法:
其中
是定義空間(局部参考框架)坐標系統基的正交單位向量。
若用物質坐標表示位移場,
會是
的函數,位移場是:
其中
是表示剛體移動的位移向量。
位移向量相對物質坐標的偏导数可得物質位移梯度張量
。可得
其中
是物質位移梯度張量,而
為旋轉。
在Eulerian描述法下,未變形組態的粒子
,延伸到其變形組態的向量為位移向量:
其中
是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。
若用空間坐標表示位移場,
會是
的函數,位移場是:
空間導數,也就是位移向量相對空間坐標的偏导数,即為空間位移梯度張量
,可得
其中
空間位移梯度張量。
是物質坐標和空間坐標的單位向量
及
的方向餘弦,因此
和
的關係為
已知
因此
常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統,是在
下的結果,而方向餘弦變成克罗内克δ函数
在材料(未變形)的坐標裡,位移可以表示為:
在空間(已變形)的坐標裡,位移可以表示為: