关系 (数学)
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此條目没有列出任何参考或来源。 (2012年1月8日) |
簡介
[编辑]參考一個如「X認為Y喜歡Z」之類的關係,其實際情形如下:
X | Y | Z |
---|---|---|
韻如 | 凯文 | 佳馨 |
正乾 | 韻如 | 柏豪 |
正乾 | 正乾 | 韻如 |
佳馨 | 佳馨 | 佳馨 |
上表的每一行都代表著一個事實,並給出「X認為Y喜歡Z」此類形式的斷言。例如,第一行即表示「韻如認為凯文喜歡佳馨」。上表表示一個在集合P上的關係S,其中:
- P = {韻如,凯文,佳馨}
包括表中所有的人物。表中的資料則等同於如下的有序對:
- S = {(韻如,凯文,佳馨), (正乾,韻如,凯文), (正乾,正乾,韻如), (佳馨,佳馨,佳馨)}
若較不嚴謹些,通常會將S(韻如,凯文,佳馨)用來指上表中第一行的同一種關係。關係S為「三元」關係,因為每一行都包含了「三個」項目。關係是一個以集合論中的概念定義出的數學物件(即關係為{X,Y,Z}的笛卡兒積的子集),包含了表中所有的訊息。因此,數學上來說,關係純粹是個集合。
形式定義
[编辑]k元關係在數學上有兩種常見的定義。
定義1在集合X1,…,Xk上的關係L是指集合的笛卡兒積的子集,寫成L ⊆ X1 ×…× Xk。因此,在此定義下,k元關係就是個k元組的集合。
第二個定義用到數學上一個常見的習慣-說「某某為一n元組」即表示此一某某數學物件是由n組數學物件的描述來判定的。在集合X1,…,Xk上的關係L中,會有k+1件事要描述,即k個集合加上一個這些集合笛卡兒積的子集。在此習慣下,L可以說是一個k+1元組。
定義2在集合X1,…,Xk上的關係L是一個k+1元組L = (X1,…, Xk, G(L)),其中G(L)是笛卡兒積X1 ×…× Xk的子集,稱之為L的「關係圖」。
例子
[编辑]可除性
[编辑]兩個正整數n和m之間「可除性」的關係是指「n 整除m」。此一關係通常用一特殊的符號「 | 」來表示它,寫成「n|m」來表示「n整除m」。
若要以集合來代表這二元關係,即是設正整數的集合P = {1,2,3,…},然後可除性就是一個在P上的二元關係D,其中D為一包含了所有n|m的有序對 (n,m)。
例如,2為4的因數及6為72的因數,則可寫成2|4和6|72,或D(2,4)和D(6,72)。
共面
[编辑]對三維空間內的線L,存在一個三條線為共面的三元關係。此一關係「無法」縮減成兩條線共面的二元對稱關係。
換句話說,若 P(L,M,N)表示線 L,M,N共面,且Q(L,M)表示線 L,M共面,則Q(L,M),Q(M,N)和Q(N,L)不能合起來代表P(L,M,N)也是對的;但相反則是正確的(三條共面的線之中的一對必然也會是共面的)。其中有兩個幾何上的反例。
第一個是,如x軸、y軸和z軸之類共點(即交於同一點)的三條線。另一個則是在任一三角柱上平行的三邊。
若要正確,則必須加上每對線都會相交且相交的點都不同。如此一來,每對線的共面才會意指三條線的共面。
關係的性質
[编辑]数学上更有研究意义的是具有某种性质的关系。一些常见的性质包括:自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性。确定一个关系是否具有这些性质,可以通过考察它的关系图或者是关系矩阵来做到。
具有自反性、对称性、传递性的关系称作等价关系。一个常见的例子就是整数的模同余。
具有自反性、反对称性、传递性的关系称作偏序关系。例如自然数集上的大于等于就是偏序关系。
n元谓词
[编辑]由于上述的n元关系定义了 (x1, ..., xn)属于R时唯一的n元谓词(反之亦然),关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的:
多重关系
[编辑]许多事物有多个元素两两关系。例如:
1,无穷个質数都是两两互質。例如質数2,3,5,7,11,就是所有質数之间没有公因数,我们知道有无穷的質数两两互質;
2,无穷个区域两两相连。例如,一个汽车轮胎形状的环面可以有7个区域两两相连,有两个洞的曲面可以有8个区域两两相连,有三个洞的曲面可以有9个区域两两相连,...。我们知道可以构造无穷的区域两两相连。
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