梅森素数与完全数集合
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梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名,是能以2甲-1表示、且甲为正整数的质数,如梅森素数3就能写成22-1[1][2]。梅森素数在上述表达式对应的数甲一定是质数,但甲是质数不代表得出的结果就是梅森素数,如211-1=2047=23×89[3]。完全数是等于真因数之和的自然数,真因数即自然数除自身外的因数。如6就是完全数,因数分别是1、2、3、6且1+2+3=6。[2][4]
根据欧几里得部分证明、萊昂哈德·歐拉完全证明的歐幾里得-歐拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应:只有能换算成公式2甲-1×(2甲-1),且2甲 − 1是梅森素数的偶数是完全数。以甲=2为例,22-1=3为质数,22-1×(22-1)=2×3=6为完全数。[1][5][6]
梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题[2][6],伦斯特拉-波默朗斯-瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率,推断比x小的梅森素数期望个数為(eγ/log2)×log log x,其中e是欧拉数,γ是欧拉常数,log是自然對數[7][8][9]。已经发现的完全数都是偶数,但尚未排除存在奇数完全数的可能。已證明奇完全数必滿足某些條件,如不小於101500[10]。
下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数甲。截至2021年10月共发现51个梅森素数(及對應完全数),最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。[2]新梅森素数是用卢卡斯-莱默检验法发现,这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机[2]。
数字按从小到大排列,如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月,互联网梅森素数大搜索已经计算至甲=5820萬4879,即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。[11]发现时间和发现人均指梅森素数,完全数按歐幾里得-歐拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索:姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外,后面的结果都非常长,最长的已有数千万位;下表仅列出前后各六位,中间以省略号表示。
梅森素数与完全数集合
[编辑]GIMPS發現的梅森素数
最小未驗證梅森素數
梅森猜測的梅森質數
古代知道的梅森素数
拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森素数
唐納德·吉利斯發現的梅森質數
大衛·斯洛文斯基發現的梅森素数
下表列出了所有已知的梅森素数: A000668
下表列出了所有已知的梅森素数指數: A000043
序 | 甲 | 梅森素数 | 梅森素数位数 | 對應完全数 | 完全数位数 | 发现时间 | 发现人 | 发现方法 | 参考[12] |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 1 | 6 | 1 | [注 1] | 古代古希腊数学家已经知晓 | 人手计算 | [13][14][15] |
2 | 3 | 7 | 1 | 28 | 2 | [13][14][15] | |||
3 | 5 | 31 | 2 | 496 | 3 | [13][14][15] | |||
4 | 7 | 127 | 3 | 8128 | 4 | [13][14][15] | |||
5 | 13 | 8191 | 4 | 33550336 | 8 | [注 2] | 约1456年不明[注 3] | 试除法 | [14][15] |
6 | 17 | 131071 | 6 | 8589869056 | 10 | 1588年[注 2] | 皮特罗·卡塔尔迪 | [2][18] | |
7 | 19 | 524287 | 6 | 137438691328 | 12 | [2][18] | |||
8 | 31 | 21億4748萬3647 | 10 | 230584……952128 | 19 | 1772年 | 萊昂哈德·歐拉 | [19] | |
9 | 61 | 230京5843兆0092億1369萬3951 | 19 | 265845……842176 | 37 | 1883年11月 | 伊万·波佛辛 | 卢卡斯数列 | [20] |
10 | 89 | 618970……562111 | 27 | 191561……169216 | 54 | 1911年6月 | 拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯 | 卢卡斯数列 | [21] |
11 | 107 | 162259……288127 | 33 | 131640……728128 | 65 | 1914年6月 | [22] | ||
12 | 127 | 170141183460469231731687303715884105727 | 39 | 144740……152128 | 77 | 1876年1月 | 爱德华·卢卡斯 | 卢卡斯数列 | [23] |
13 | 521 | 686479……057151 | 157 | 235627……646976 | 314 | 1952年1月 | 拉斐爾·米切爾·羅賓遜 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | [24] |
14 | 607 | 531137……728127 | 183 | 141053……328128 | 366 | [24] | |||
15 | 1279 | 104079……729087 | 386 | 541625……291328 | 770 | 1952年6月 | [25] | ||
16 | 2203 | 147597……771007 | 664 | 108925……782528 | 1327 | 1952年10月 | [26] | ||
17 | 2281 | 446087……836351 | 687 | 994970……915776 | 1373 | [26] | |||
18 | 3217 | 259117……315071 | 969 | 335708……525056 | 1937 | 1957年9月 | 汉斯·黎瑟尔 | [27] | |
19 | 4253 | 190797……484991 | 1281 | 182017……377536 | 2561 | 1961年11月 | 亚历山大·赫维茨 | [28] | |
20 | 4423 | 285542……580607 | 1332 | 407672……534528 | 2663 | [28] | |||
21 | 9689 | 478220……754111 | 2917 | 114347……577216 | 5834 | 1963年5月 | 唐纳德·吉利斯 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | [29] |
22 | 9941 | 346088……463551 | 2993 | 598885……496576 | 5985 | [29] | |||
23 | 11213 | 281411……392191 | 3376 | 395961……086336 | 6751 | 1963年6月 | [29] | ||
24 | 19937 | 431542……041471 | 6002 | 931144……942656 | 12003 | 1971年3月 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | 布萊恩特·塔克曼 | [30] |
25 | 21701 | 448679……882751 | 6533 | 100656……605376 | 13066 | 1978年10月 | 蓝登·克特·诺尔、劳拉·尼克尔 | [31] | |
26 | 23209 | 402874……264511 | 6987 | 811537……666816 | 13973 | 1979年2月 | 蓝登·克特·诺尔 | [31] | |
27 | 44497 | 854509……228671 | 13395 | 365093……827456 | 26790 | 1979年4月 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | 哈里·尼尔森、大卫·斯洛文斯基 | [32][33] |
28 | 86243 | 536927……438207 | 25962 | 144145……406528 | 51924 | 1982年9月 | 大卫·斯洛文斯基 | [34] | |
29 | 11萬0503 | 521928……515007 | 33265 | 136204……862528 | 66530 | 1988年1月 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | 沃尔特·科尔奎特、卢克·韦尔什 | [35][36] |
30 | 13萬2049 | 512740……061311 | 39751 | 131451……550016 | 79502 | 1983年9月 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | 大卫·斯洛文斯基等人(克雷公司) | [37] |
31 | 21萬6091 | 746093……528447 | 65050 | 278327……880128 | 13萬0100 | 1985年9月 | [38][39] | ||
32 | 75萬6839 | 174135……677887 | 22萬7832 | 151616……731328 | 45萬5663 | 1992年2月 | [40] | ||
33 | 85萬9433 | 129498……142591 | 25萬8716 | 838488……167936 | 51萬7430 | 1994年1月 | [41] | ||
34 | 125萬7787 | 412245……366527 | 37萬8632 | 849732……704128 | 75萬7263 | 1996年9月 | [42][43] | ||
35 | 139萬8269 | 814717……315711 | 42萬0921 | 331882……375616 | 84萬1842 | 1996年11月 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | 互联网梅森素数大搜索:乔尔·阿蒙古德 | [44] |
36 | 297萬6221 | 623340……201151 | 89萬5932 | 194276……462976 | 179萬1864 | 1997年8月 | 互联网梅森素数大搜索:戈登·斯彭斯 | [45] | |
37 | 302萬1377 | 127411……694271 | 90萬9526 | 811686……457856 | 181萬9050 | 1998年1月 | 互联网梅森素数大搜索:罗兰·克拉克森 | [46] | |
38 | 697萬2593 | 437075……193791 | 209萬8960 | 955176……572736 | 419萬7919 | 1999年6月 | 互联网梅森素数大搜索:纳扬·哈吉拉特瓦拉 | [47] | |
39 | 1346萬6917 | 924947……259071 | 405萬3946 | 427764……021056 | 810萬7892 | 2001年11月 | 互联网梅森素数大搜索:迈克尔·卡梅隆 | [48] | |
40 | 2099萬6011 | 125976……682047 | 632萬0430 | 793508……896128 | 1264萬0858 | 2003年11月 | 互联网梅森素数大搜索:迈克尔·谢弗 | [49] | |
41 | 2403萬6583 | 299410……969407 | 723萬5733 | 448233……950528 | 1447萬1465 | 2004年5月 | 互联网梅森素数大搜索:乔希·芬德利 | [50] | |
42 | 2596萬4951 | 122164……077247 | 781萬6230 | 746209……088128 | 1563萬2458 | 2005年2月 | 互联网梅森素数大搜索:马丁·诺瓦克 | [51] | |
43 | 3040萬2457 | 315416……943871 | 915萬2052 | 497437……704256 | 1830萬4103 | 2005年12月 | 互联网梅森素数大搜索:柯蒂斯·库珀、史蒂文·布恩 | [52] | |
44 | 3258萬2657 | 124575……967871 | 980萬8358 | 775946……120256 | 1961萬6714 | 2006年9月 | [53] | ||
45 | 3715萬6667 | 202254……220927 | 1118萬5272 | 204534……480128 | 2237萬0543 | 2008年9月 | 互联网梅森素数大搜索:汉斯-迈克尔·埃尔维尼奇 | [54] | |
46 | 4264萬3801 | 169873……314751 | 1283萬7064 | 144285……253376 | 2567萬4127 | 2009年6月 | 互联网梅森素数大搜索:奥德·麦格纳·斯特林莫 | [55] | |
47 | 43112609 | 316470……152511 | 1297萬8189 | 500767……378816 | 2595萬6377 | 2008年8月 | 互联网梅森素数大搜索:埃德森·史密斯 | [54][56] | |
48 | 5788萬5161 | 581887……285951 | 1742萬5170 | 169296……130176 | 3485萬0340 | 2013年1月 | 互联网梅森素数大搜索:柯蒂斯·库珀 | [57][58] | |
不适用 | 6868萬9253 | 最低未验证里程碑(截至西元2024年6月23日)[注 4] | |||||||
49? | 7420萬7281 | 300376……436351 | 2233萬8618 | 451129……315776 | 4467萬7235 | 2016年1月 | 互联网梅森素数大搜索:柯蒂斯·库珀 | 计算机采用卢卡斯-莱默检验法 | [59][60] |
50? | 7723萬2917 | 467333……179071 | 2324萬9425 | 109200……301056 | 4649萬8850 | 2017年12月 | 互联网梅森素数大搜索:乔纳森·佩斯 | [61][62] | |
51? | 8258萬9933 | 148894……902591 | 2486萬2048 | 110847……207936 | 4972萬4095 | 2018年12月 | 互联网梅森素数大搜索:帕特里克·拉罗什 | [63][64] | |
不适用 | 1億1748萬5899 | 最低未测试里程碑(截至西元2024年6月23日)[注 4] |
注释
[编辑]参考资料
[编辑]- ^ 1.0 1.1 Stillwell, John. Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer Science+Business Media. 2010: 40 [2021-11-01]. ISBN 978-1-4419-6052-8. (原始内容存档于2021-10-13).
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Caldwell, Chris K. Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. PrimePages. [2021-10-27]. (原始内容存档于2021-10-27).
- ^ Caldwell, Chris K. If 2n-1 is prime, then so is n. PrimePages. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-27).
- ^ Prielipp, Robert W. Perfect Numbers, Abundant Numbers, and Deficient Numbers. The Mathematics Teacher. 1970, 63 (8): 692–696. JSTOR 27958492. doi:10.5951/MT.63.8.0692 –通过JSTOR.
- ^ Caldwell, Chris K. Characterizing all even perfect numbers. PrimePages. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-27).
- ^ 6.0 6.1 Crilly, Tony. Perfect numbers. 50 mathematical ideas you really need to know. Quercus Publishing. 2007 [2021-11-01]. ISBN 978-1-84724-008-8. (原始内容存档于2021-10-13).
- ^ Caldwell, Chris K. Heuristics Model for the Distribution of Mersennes. PrimePages. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-19).
- ^ Wagstaff, Samuel S. Divisors of Mersenne numbers. Mathematics of Computation. 1983-01, 40 (161): 385. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X.
- ^ Pomerance, Carl. Recent developments in primality testing. The Mathematical Intelligencer. 1981-09, 3 (3): 97–105. ISSN 0343-6993. S2CID 121750836. doi:10.1007/BF03022861.
- ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500. Mathematics of Computation. 2012-01-30, 81 (279): 1869–1877. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4.
- ^ 11.0 11.1 GIMPS Milestones Report. Great Internet Mersenne Prime Search. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-31).
- ^ 以下文献可以找到所有结果:
- List of Known Mersenne Prime Numbers. Great Internet Mersenne Prime Search. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-31).
- Caldwell, Chris K. Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. PrimePages. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-27).
- Caldwell, Chris K. The Largest Known prime by Year: A Brief History. PrimePages. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-27).
- Haworth, Guy M. Mersenne numbers (PDF) (报告). 1987 [2021-11-01]. (原始内容存档 (PDF)于2021-10-26).
- Noll, Landon Curt. Known Mersenne Primes. 2018-12-21 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-23).
- Tattersall, James J. Elementary Number Theory in Nine Chapters. Cambridge University Press. 1999: 131–134 [2021-11-01]. ISBN 978-0-521-58531-6. (原始内容存档于2021-10-31).
- ^ 13.0 13.1 13.2 13.3 Joyce, David E. Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36. Department of Mathematics and Computer Science. Worcester, MA: Clark University. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-06-17).
- ^ 14.0 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Dickson, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie Institution of Washington. 1919: 4–6 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-11-04).
- ^ 15.0 15.1 15.2 15.3 15.4 Smith, David Eugene. History of Mathematics: Volume II. Dover. 1925: 21 [2021-11-01]. ISBN 978-0-486-20430-7.
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Perfect numbers. MacTutor History of Mathematics archive. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-23).
- ^ 'Calendarium ecclesiasticum – BSB Clm 14908'. Bavarian State Library. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-28).
- ^ 18.0 18.1 Cataldi, Pietro Antonio. Trattato de' numeri perfetti di Pietro Antonio Cataldo. Presso di Heredi di Giouanni Rossi. 1603 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-11-04).
- ^ Euler, Leonhard. Extrait d'un lettre de M. Euler le pere à M. Bernoulli concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771, p 318. Nouveaux Mémoires de l'académie royale des sciences de Berlin. 1772, 1772: 35–36 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-10-15) –通过Euler Archive.
- ^ Sur un nouveau nombre premier, annoncé par le père Pervouchine. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg. 1887-01-27, 31: 532–533 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-13) –通过Biodiversity Heritage Library.
- ^ Powers, R. E. The Tenth Perfect Number. The American Mathematical Monthly. 1911-11, 18 (11): 195–197. JSTOR 2972574. doi:10.2307/2972574.
- ^ Records of Proceedings at Meetings. Proceedings of the London Mathematical Society. 1914, s2–13 (1): iv–xl. doi:10.1112/plms/s2-13.1.1-s.
- ^ Lucas, Édouard. Note sur l'application des séries récurrentes à la recherche de la loi de distribution des nombres premier. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 1876, 82: 165–167 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-13).
- ^ 24.0 24.1 Notes. Mathematics of Computation. 1952-01, 6 (37): 58–61. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-52-99405-2.
- ^ Notes. Mathematics of Computation. 1952-07, 6 (39): 204. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-52-99389-7.
- ^ 26.0 26.1 Notes. Mathematics of Computation. 1953-01, 7 (41): 67–72. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-53-99372-7.
- ^ Riesel, Hans. A New Mersenne Prime. Mathematics of Computation. 1958-01, 12 (61): 60. doi:10.1090/S0025-5718-58-99282-2
.
- ^ 28.0 28.1 Hurwitz, Alexander. New Mersenne primes. Mathematics of Computation. 1962-04, 16 (78): 249. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-1962-0146162-X.
- ^ 29.0 29.1 29.2 Gillies, Donald B. Three new Mersenne primes and a statistical theory. Mathematics of Computation. 1964-01, 18 (85): 93–97. JSTOR 2003409. doi:10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6
.
- ^ Tuckerman, Bryant. The 24th Mersenne Prime. Proceedings of the National Academy of Sciences. 1971-10, 68 (10): 2319–2320. Bibcode:1971PNAS...68.2319T. PMC 389411
. PMID 16591945. doi:10.1073/pnas.68.10.2319
.
- ^ 31.0 31.1 Noll, Landon Curt; Nickel, Laura. The 25th and 26th Mersenne primes. Mathematics of Computation. 1980-10, 35 (152): 1387. JSTOR 2006405. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0583517-4
.
- ^ Slowinski, David. Searching for the 27th Mersenne prime. Journal of Recreational Mathematics. 1978, 11 (4): 258–261.
- ^ Science Watch: A New Prime Number. The New York Times. 1979-06-05 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-11-02).
- ^ Announcements. The Mathematical Intelligencer. 1983-03, 5 (1): 60. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/BF03023507.
- ^ Peterson, I. Priming for a Lucky Strike. Science News. 1988-02-06, 133 (6): 85. JSTOR 3972461. doi:10.2307/3972461.
- ^ Colquitt, W. N.; Welsh, L. A new Mersenne prime. Mathematics of Computation. 1991-04, 56 (194): 867. Bibcode:1991MaCom..56..867C. JSTOR 2008415. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1068823-9
.
- ^ Number is largest prime found yet.. The Globe and Mail. 1983-09-24.
- ^ Peterson, I. Prime Time for Supercomputers. Science News. 1985-09-28, 128 (13): 199. JSTOR 3970245. doi:10.2307/3970245.
- ^ Dembart, Lee. Supercomputer Comes Up With Whopping Prime Number. Los Angeles Times. 1985-09-17 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-11-02).
- ^ Maddox, John. The endless search for primality. Nature. 1992-03-26, 356 (6367): 283 [2021-11-01]. Bibcode:1992Natur.356..283M. ISSN 1476-4687. S2CID 4327045. doi:10.1038/356283a0. (原始内容存档于2021-10-29).
- ^ Largest Known Prime Number Discovered on Cray Research Supercomputer. PR Newswire. 1994-01-10 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-11-04) –通过Gale.
- ^ Caldwell, Chris K. A Prime of Record Size! 21257787-1. PrimePages. [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-05).
- ^ Gillmor, Dan. Crunching numbers: Researchers come up with prime math discovery. Knight Ridder. 1996-09-03 [2021-11-01] –通过Gale.
- ^ GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime, 21,398,269-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1996-11-12 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-17).
- ^ GIMPS Discovers 36th Mersenne Prime, 22,976,221-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1997-09-01 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-07).
- ^ GIMPS Discovers 37th Mersenne Prime, 23,021,377-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1998-02-02 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-07).
- ^ GIMPS Discovers 38th Mersenne Prime 26,972,593-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 1999-06-30 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-07).
- ^ GIMPS Discovers 39th Mersenne Prime, 213,466,917-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2001-12-06 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-07).
- ^ GIMPS Discovers 40th Mersenne Prime, 220,996,011-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2003-02-02 [2021-11-01]. (原始内容存档于2020-06-07).
- ^ GIMPS Discovers 41st Mersenne Prime, 224,036,583-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2004-05-28 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-01-29).
- ^ GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2005-02-27 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-03-14).
- ^ GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2005-12-24 [2021-11-01]. (原始内容存档于14 March 2021).
- ^ GIMPS Discovers 44th Mersenne Prime, 232,582,657-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2006-09-11 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-17).
- ^ 54.0 54.1 GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2008-09-15 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-05).
- ^ GIMPS Discovers 47th Mersenne Prime. Great Internet Mersenne Prime Search. 2009-04-12 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-06).
- ^ Maugh, Thomas H. Rare prime number found. Los Angeles Times. 2008-09-27 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-29).
- ^ GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. Great Internet Mersenne Prime Search. 2013-02-05 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-17).
- ^ Yirka, Bob. University professor discovers largest prime number to date. phys.org. 2013-02-06 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-29).
- ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. Great Internet Mersenne Prime Search. 2016-01-19 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-05).
- ^ Largest known prime number discovered in Missouri -GB. BBC News. 2016-01-20 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-08-21).
- ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. Great Internet Mersenne Prime Search. 2018-01-03 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-17).
- ^ Lamb, Evelyn. Why You Should Care About a Prime Number That's 23,249,425 Digits Long. Slate Magazine. 2018-01-04 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-27).
- ^ GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1. Great Internet Mersenne Prime Search. 2018-12-21 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-10-17).
- ^ Palca, Joe. The World Has A New Largest-Known Prime Number. NPR. 2018-12-21 [2021-11-01]. (原始内容存档于2021-07-30).
外部链接
[编辑]- 整數數列線上大全:完全数 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 整數數列線上大全:梅森素数 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 整數數列線上大全:对应指数 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 互联网梅森素数大搜索:梅森素数集合,列出完整数字 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- 梅森素数史技术报告,盖伊·霍沃斯著 (页面存档备份,存于互联网档案馆)