在哈密頓力學裏,當計算正則變換時,生成函數扮演的角色,好似在兩組正則坐標
,
之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ,採取一種間接的方法,稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式
;(1)
其中,
是舊廣義坐標,
是舊廣義動量,
是新廣義坐標,
是新廣義動量,
分別為舊哈密頓量與新哈密頓量,
是生成函數,
是時間。
生成函數
的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換
保證是正則變換。
生成函數
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導數
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第一型生成函數
只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,
。
代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數,
。
新廣義坐標
和舊廣義坐標
都是自變量,其對於時間的全導數
和
互相無關,所以,以下
個方程式都必須成立:
,(2)
,(3)
。(4)
這
個方程式設定了變換
,步驟如下:
第一組的
個方程式 (2) ,設定了
的
個函數方程式
。
在理想情況下,這些方程式可以逆算出
的
個函數方程式
。(5)
第二組的
個方程式 (3) ,設定了
的
個函數方程式
。
代入函數方程式 (5) ,可以算出
的
個函數方程式
。(6)
從
個函數方程式 (5) 、(6) ,可以逆算出
個函數方程式
,
。
代入新哈密頓量
的方程式 (4) ,可以得到
。
第二型生成函數
只跟舊廣義坐標
、新廣義動量
有關 :
;
代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數:
。
由於舊廣義坐標
與新廣義動量
必須彼此無關,以下
方程式必須成立:
,(7)
,(8)
。(9)
這
個方程式設定了變換
。步驟如下:
第一組的
個方程式 (7) ,設定了
的函數方程式
。
在理想情況下,這些方程式可以逆算出
的函數方程式
。(10)
第二組的
個方程式 (8) ,設定了的函數方程式
。
代入函數方程式 (10) ,可以算出
函數方程式
。(11)
由函數方程式 (10) 、(11) ,可以算出函數方程式
,
。
代入新哈密頓量的方程式 (9) ,則可得到
。
第三型生成函數只跟舊廣義動量
、新廣義坐標
有關:
。
以下
方程式設定了變換
:
,
,
。
第四型生成函數
只跟舊廣義動量
、新廣義動量
有關:
。
以下
方程式設定了變換
:
,
,
。
第一型生成函數有一個特別簡易案例:
。
方程式 (2) ,(3) ,(4) 的答案分別為
,
,
。
再擧一個涉及第二型生成函數,比較複雜的例子。讓
;
這裏,
是一組
個函數。
答案是一個廣義坐標的點變換,
。
有時候,可以將一個給定的哈密頓量,變成一個很像諧振子的哈密頓量,
。
例如,假若哈密頓量為
;(12)
這裏,
是廣義動量,
是廣義坐標。
一個優良的正則變換選擇是
,(13)
。(14)
代入方程式 (12) ,新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同:
![{\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95859ca148b438d6a54fa04fa48ba87deb65943c)
這變換用的是第三型生成函數
;其對於
的導數是
。
代入方程式 (13) 、(14) ,
。
對於
積分,可以得到生成函數
:
。
最後,檢查答案是否正確:
。