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西爾維斯特數列

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西爾維斯特數列的定義為。當,由於空積(一個空集內所有元素的積)是,所以,之後是OEIS:A000058

這亦可以用遞歸定義:

數學歸納法可證明

「求個埃及分數,使它們之和最接近而又小於。」答案就是這數列中首個數的倒數之和。[1]因此,西爾維斯特數列又可以貪婪算法來定義:每步選取的一個分母,使得對應的埃及分數再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為,其中E約為1.264。這和費馬數很相似。

這數列以詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特命名。

和為有理數且快速增長的唯一性

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若有數列 ,則必存在使得對於[1]

保羅·艾狄胥猜想上面的不等式可以改為更弱的條件

質數

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顯然兩個相異的西爾維斯特數必定互質。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。[2]現時所知的西爾維斯特數中,都是無平方數因數的數,但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。[2]

參考

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  1. ^ Badea, Catalin, 1993. "A theorem on irrationality of infinite series and applications". Acta Arithmetica 63: 313–323.
  2. ^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. ISBN 0-201-52989-0.