2的算術平方根
外观
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此條目没有列出任何参考或来源。 (2015年9月6日) |
2的平方根 | ||
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命名 | ||
名稱 | 2的算術平方根 2的主平方根 根号2 | |
識別 | ||
種類 | 無理數 | |
符號 | ||
性質 | ||
連分數 | ||
以此為根的多項式或函數 | ||
表示方式 | ||
值 | 1.414213562... | |
二进制 | 1.011010100000100111100110… | |
十进制 | 1.414213562373095048801688… | |
十六进制 | 1.6A09E667F3BCC908B2FB1366… | |
2的算術平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数或分数表示。
其最初65位為
是无理数的证明
[编辑]常見的證明
[编辑]- 假設是有理數,即有整數、,使得
- 將重寫成最簡分數,即和互質,且
- 所以,即
- 因為必為偶数,故亦是偶数
- 故為偶数(奇数的平方不會是偶数)
- 所以必有一整數,使得
- 將(3)的式子代入(6):
- 化简得
- 因为是偶数,所以是偶数,亦是偶数
- 所以和都是偶数,跟是最簡分數的假設矛盾
- 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤,不是有理數,即是無理數
這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數,其算術平方根為無理數。
另一個證明
[编辑]另外一個是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:
- 假設是有理數,便可以表示成最簡分數,其中, 為正整數
- 由於,所以
- 因為
- 所以
- 故是比更簡的分數,與是最簡分數的假設矛盾
從一個直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。
性质
[编辑]2的算术平方根的连分数展开式为:
註釋
[编辑]- ^ 令, 由觀察可知,即, 解方程,取正根,得, 因此。
参见
[编辑]外部链接
[编辑]- 是無理數的六個證明,香港大學數學系蕭文強(页面存档备份,存于互联网档案馆)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 舊題新解 — 根號2是無理數,張海潮 張鎮華[永久失效連結](數學傳播 第 30 卷 第 4 期)