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- 以2組數時為例
![{\displaystyle (a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})-(ab+cd)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dadca45b5db8569973399e2ffd944d6f7abb741f)
![{\displaystyle =a^{2}b^{2}+a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-a^{2}b^{2}-c^{2}d^{2}-2abcd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592f56f93561aba1580480146b58fa4f5f82378)
![{\displaystyle =a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}-2abcd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64dc6f70d36eb83c78306229f5438f56a831fa3)
![{\displaystyle =(ad-bc)^{2}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a0f85fc7732d29c81aebc51d1f7d5c436b8a04)
- 等號應該成立於
,亦即
時,可是為什麼臺灣的學校幾乎教的都是成立於
時(成比例時)呢?
- 或許有人會認為
與
不是一樣的嘛?
- 可是事實上就是不一樣,問題在於
為0時。
時,
顯然成立,
也成立,但是
因為分母為0而無定義。
- 那麼為什麼臺灣的學校幾乎都是教「等號成立於成比例時」呢?
---游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月6日 (五) 22:53 (UTC)[回复]
- 先问个题外话,台湾高中会教柯西不等式吗?(大陆高中是不要求掌握柯西不等式的,高考要求范畴内的主教材中似乎只字不提,不过老师可能会讲,但高考禁止使用。)(您的问题,我将会用线性代数知识来回答。)--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月6日 (五) 23:59 (UTC)[回复]
- 會,文組學生(我是文組生)求極值時幾乎不是用柯西不等式,就是用算幾不等式,再不然就是配方成拋物線求頂點(不用微分求極值,因為沒有教)。且文組生通常最多只用到三對數據時的柯西不等式,證明之是用向量。但因為向量我幾乎忘光了,所以我是用如上的配方法證明:
![{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9acb61b43a1dd8d43a0f4d6cdec8c5fa814f94)
![{\displaystyle =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})^{2}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb133b7f7ed4d02f30888dece019ac15a4d3640)
- 等號成立於
時。
- -游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月7日 (六) 01:24 (UTC)[回复]
- “文组学生”是指考“社会”科的学生吗?我之前看过台湾的普通高等学校招生考试,似乎是分科学科和社会科?--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月7日 (六) 02:08 (UTC)[回复]
- 我的高中時期是上個世紀末,距今已經超過四分之一個世紀,很多事都不一樣了,所以當我沒說好了,這無助於您了解目前臺灣的高中數學教育體制。-游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月7日 (六) 05:36 (UTC)[回复]
- 答 中学出现的这种“Cauchy不等式”只是Cauchy不等式(Cauchy-Schwarz不等式)在二维Euclid空间
(平面)中的特例(刚看到您又举了一个三维空间——即立体——中的特例).事实上,Cauchy不等式适用于任何维度的Euclid空间
,下面来证明这个任意维度的Cauchy不等式:
.
- 任意维度的Euclid空间两向量
的标准内积定义为
,显然内积具有正定性
,故可定义非负实数
为该向量的长度,记作
.有定理:
- 对某一Euclid空间中的任意两向量
,恒有
,且当且仅当
线性相关时,等号成立.
- (关键词:“线性相关”,这正是您的问题的核心。这里不给出“线性相关”概念的具体定义,只简单说明两个向量的情况:
线性相关
可找到一个实数
,满足
,即
.)下面证明这一定理:
- 当
线性相关时,
(最后一步利用了内积的线性性,“线性性”易证,故不冗证),
,
- 故
,取得等号;
- 当
线性无关时,对任意实数
,
(其中
表示零向量),则根据正定性:
,并进一步根据内积的线性性与对称性(类似乘法分配律)展开得:
.得到一个关于
的二次函数(恒大于0),故要求二次函数判别式
,即得:
,
- 即
.
- 至此,定理得证⬛️.该定理应用于Euclid空间
即Cauchy不等式(此外,应用于闭区间上连续实函数的Euclid空间还可以得到Schwarz不等式,合称Cauchy-Schwarz不等式).
- 【参考书目】
陈维新.线性代数 [M]. 2版.北京:科学出版社, 2007: 157-161. 978-7-03-018440-5.
--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月7日 (六) 02:06 (UTC)[回复]
- 閣下講是這樣講,但臺灣的老師教的卻是「成比例」,但0要如何和其他實數「成比例」?
- 莫非是認為對於不等式
而言,當
時,雖然確實
(等號成立),但這是trivial solution,所以任何一項是0都不列入考慮?
- 但trivial solution也是solution,怎能把0排除在外?
- 所以我不懂臺灣的老師為什麼會教等號成立的充要條件是「成比例」。-游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月7日 (六) 05:06 (UTC)[回复]
- 那就是教得不好呗
确切的条件就是线性相关——用中学知识理解的话,就是向量共线或者说α=kβ.--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月7日 (六) 05:13 (UTC)[回复]
(節刪)—— 桁霽 ↹ 晚來天欲雪,能飲一杯無 2024年9月9日 (一) 13:40 (UTC)[回复]
- ??--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月9日 (一) 13:43 (UTC)[回复]
- 虽然我一直很喜欢吃瓜(包括这类),但
请勿在此页……就某个议题发起讨论,此页面仅回答个人不懂的问题。
我认为“如何评价……有何建议……”并不属于一个具体“问题”,而已经构成“就某个议题发起讨论”了。--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月9日 (一) 13:45 (UTC)[回复]
- 好的感謝,我立即刪除。—— 桁霽 ↹ 晚來天欲雪,能飲一杯無 2024年9月9日 (一) 13:46 (UTC)[回复]
- 你可以上這裡發表你對各國政治方面的問題 http://politics.stackexchange.com/ 經由這裡翻譯: https://translate.google.com.tw/?sl=zh-TW&tl=en--Innova(留言) 2024年9月12日 (四) 00:26 (UTC)[回复]
- 他发表的不是政治问题……是复杂的情感问题()--自由雨日🌧️(留言|贡献) 2024年9月12日 (四) 03:03 (UTC)[回复]