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1	為什麼臺灣的學校會教柯西不等式等號成立於「成比例時」呢？	8	2	克勞棣	2024-09-07 13:36
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為什麼臺灣的學校會教柯西不等式等號成立於「成比例時」呢？

以2組數時為例

$(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})-(ab+cd)^{2}$

$=a^{2}b^{2}+a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}-a^{2}b^{2}-c^{2}d^{2}-2abcd$

$=a^{2}d^{2}+c^{2}b^{2}-2abcd$

$=(ad-bc)^{2}\geq 0$

等號應該成立於$ad-bc=0$，亦即$ad=bc$時，可是為什麼臺灣的學校幾乎教的都是成立於${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$時（成比例時）呢？

或許有人會認為$ad=bc$與${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$不是一樣的嘛？

可是事實上就是不一樣，問題在於$b,d$為0時。

$b=d=0$時，$(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})=(ab+cd)^{2}$顯然成立，$0\times a=0\times c$也成立，但是${\frac {a}{0}}={\frac {c}{0}}$因為分母為0而無定義。

那麼為什麼臺灣的學校幾乎都是教「等號成立於成比例時」呢？

---游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月6日 (五) 22:53 (UTC)

先问个题外话，台湾高中会教柯西不等式吗？（大陆高中是不要求掌握柯西不等式的，高考要求范畴内的主教材中似乎只字不提，不过老师可能会讲，但高考禁止使用。）（您的问题，我将会用线性代数知识来回答。）--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月6日 (五) 23:59 (UTC)

會，文組學生(我是文組生)求極值時幾乎不是用柯西不等式，就是用算幾不等式，再不然就是配方成拋物線求頂點(不用微分求極值，因為沒有教)。且文組生通常最多只用到三對數據時的柯西不等式，證明之是用向量。但因為向量我幾乎忘光了，所以我是用如上的配方法證明：

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$

$=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})^{2}\geq 0$

等號成立於$a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}=a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}=0$時。

-游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月7日 (六) 01:24 (UTC)

“文组学生”是指考“社会”科的学生吗？我之前看过台湾的普通高等学校招生考试，似乎是分科学科和社会科？--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月7日 (六) 02:08 (UTC)

我的高中時期是上個世紀末，距今已經超過四分之一個世紀，很多事都不一樣了，所以當我沒說好了，這無助於您了解目前臺灣的高中數學教育體制。-游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月7日 (六) 05:36 (UTC)

答 中学出现的这种“Cauchy不等式”只是Cauchy不等式（Cauchy-Schwarz不等式）在二维Euclid空间$\mathbf {R} ^{2}$（平面）中的特例（刚看到您又举了一个三维空间——即立体——中的特例）．事实上，Cauchy不等式适用于任何维度的Euclid空间$\mathbf {R} ^{n}$，下面来证明这个任意维度的Cauchy不等式：$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leqslant (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots +b_{n}^{2})$．

任意维度的Euclid空间两向量${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$的标准内积定义为$({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$，显然内积具有正定性$({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})\geqslant 0$，故可定义非负实数${\sqrt {({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})}}$为该向量的长度，记作$\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert$．有定理：

• 对某一Euclid空间中的任意两向量${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$，恒有$\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert \leqslant \lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert$，且当且仅当${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性相关时，等号成立．

（关键词：“线性相关”，这正是您的问题的核心。这里不给出“线性相关”概念的具体定义，只简单说明两个向量的情况：${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性相关$\Leftrightarrow$可找到一个实数$k$，满足${\boldsymbol {\alpha }}=k{\boldsymbol {\beta }}$，即$a_{1}=kb_{1},a_{2}=kb_{2},\cdots ,a_{n}=kb_{n}$．）下面证明这一定理：

• 当${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性相关时，
  • $\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert =\left\vert (k{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert =\left\vert k\right\vert ({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})$（最后一步利用了内积的线性性，“线性性”易证，故不冗证），
  • $\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert =\lVert k{\boldsymbol {\beta }}\rVert =\left\vert k\right\vert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert$，
  • 故$\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert =\left\vert k\right\vert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert ^{2}=\left\vert k\right\vert ({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})=\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert$，取得等号；
• 当${\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}$线性无关时，对任意实数$t$，$t{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }}\neq {\boldsymbol {\theta }}$（其中${\boldsymbol {\theta }}$表示零向量），则根据正定性：
  • $(t{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }},t{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }})>0$，并进一步根据内积的线性性与对称性（类似乘法分配律）展开得：
  • $t^{2}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})+2t({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})+({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})>0$．得到一个关于$t$的二次函数（恒大于0），故要求二次函数判别式$\Delta <0$，即得：
  • $({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})^{2}-({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\alpha }})({\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }})<0$，
  • 即$\left\vert ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }})\right\vert <\lVert {\boldsymbol {\alpha }}\rVert \lVert {\boldsymbol {\beta }}\rVert$．

至此，定理得证⬛️．该定理应用于Euclid空间$\mathbf {R} ^{n}$即Cauchy不等式（此外，应用于闭区间上连续实函数的Euclid空间还可以得到Schwarz不等式，合称Cauchy-Schwarz不等式）．

【参考书目】陈维新．线性代数 [M]. 2版．北京：科学出版社, 2007: 157-161. 978-7-03-018440-5.--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月7日 (六) 02:06 (UTC)

閣下講是這樣講，但臺灣的老師教的卻是「成比例」，但0要如何和其他實數「成比例」？

莫非是認為對於不等式$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$而言，當$a_{1}=a_{2}=b_{1}=b_{2}=0$時，雖然確實$(a_{3}^{2})(b_{3}^{2})=(a_{3}b_{3})^{2}$（等號成立），但這是trivial solution，所以任何一項是0都不列入考慮？

但trivial solution也是solution，怎能把0排除在外？

所以我不懂臺灣的老師為什麼會教等號成立的充要條件是「成比例」。-游蛇脫殼/克勞棣 2024年9月7日 (六) 05:06 (UTC)

那就是教得不好呗确切的条件就是线性相关——用中学知识理解的话，就是向量共线或者说α=kβ．--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月7日 (六) 05:13 (UTC)

（節刪）

（節刪）—— 　桁霽　 ↹　晚來天欲雪，能飲一杯無　　 2024年9月9日 (一) 13:40 (UTC)

？？--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月9日 (一) 13:43 (UTC)

虽然我一直很喜欢吃瓜（包括这类），但请勿在此页……就某个议题发起讨论，此页面仅回答个人不懂的问题。我认为“如何评价……有何建议……”并不属于一个具体“问题”，而已经构成“就某个议题发起讨论”了。--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月9日 (一) 13:45 (UTC)

好的感謝，我立即刪除。—— 　桁霽　 ↹　晚來天欲雪，能飲一杯無　　 2024年9月9日 (一) 13:46 (UTC)

你可以上這裡發表你對各國政治方面的問題 http://politics.stackexchange.com/ 經由這裡翻譯: https://translate.google.com.tw/?sl=zh-TW&tl=en--Innova（留言） 2024年9月12日 (四) 00:26 (UTC)

他发表的不是政治问题……是复杂的情感问题（）--自由雨日🌧️（留言｜贡献） 2024年9月12日 (四) 03:03 (UTC)