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Y-Δ變換

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Δ形電路和Y形電路

Y-Δ變換或稱為星角變換,是一種把Y形電路轉換成等效的Δ形電路,或把Δ形電路轉換成等效的Y形電路的方法。它可以用來簡化電路的分析。這一變換理論是由亞瑟·肯內利英語Arthur Kennelly於1899年發表。[1]

基本的Y-Δ變換

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設R1、R2、和R3分別是Y形電路中從N1、N2、N3到中點的阻抗,Ra、Rb、Rc分別是Δ形電路中N1與N3、N1與N2、N2與N3之間的阻抗。希望把Y形電路換成Δ形電路,或把Δ形電路換成Y形電路後,任意兩個端點之間的阻抗仍然與原來的電路相等。

把Δ形電路變換成Y形電路

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變換的基本思路是用計算Y形電路端點的阻抗,其中是Δ形電路中對應節點到鄰接節點間的阻抗:

其中是Δ形電路的阻抗之和。具體公式如下:

口訣為 Y形阻抗 = Δ形同側相鄰阻抗乘積 / Δ形阻抗之和

把Y形電路變換成Δ形電路

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變換的基本思路是計算Δ形電路的

其中是Y形電路中的阻抗兩兩相乘之和,所在支路對側的端點在Y形電路中對應端點的阻抗。每一支路的阻抗計算公式為:

口訣為 Δ形阻抗 = Y形阻抗兩兩相乘之和 / Y形對側端點阻抗

圖論

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圖論中,Y-Δ變換表示將一個圖的Y形子圖用等價的Δ形子圖代替。變換後的邊數不變,但頂點數和迴路數會變化。如果這兩個圖可以通過一系列的Y-Δ變換互相變換得到,那麼就可以成這兩個圖Y-Δ等價。例如,佩特森圖就是一個Y-Δ等價類

推導

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Δ形負載到Y形負載的變換方程

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要將Δ形負載{}變換成Y形負載{},需要比較二者對應節點的阻抗。要計算兩種接法的阻抗,需要將電路中的一個節點斷開。

Δ形電路中N3斷開後,N1N2間的阻抗為

將{}之和用表示以簡化方程:

得到

Y形電路中N12的對應阻抗為

由以上兩式得到:

  (1)

同理,對於,也分別有

  (2)


  (3)

由此,{}的值可以由以上式子的線性組合(相加或相減)求出。

例如,將式(1)和式(3)相加,然後減去式(2)會得到

於是

其中

求出所有的阻抗值如下:

(4)


(5)


(6)

Y形負載到Δ形負載的變換方程

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.

則Δ形電路到Y形電路的變換方程變為

  (1)


  (2)


  (3)

將以上式子兩兩相乘得到

  (4)


  (5)


  (6)

上式之和為

  (7)

將右側式子中的公因式提出,約去分子中的和分母中的一個後得到

(8)

注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性,

將式(8)除以式(1)得到

得到的表達式。同理,將式(8)除以也能得到相應的表達式。


參考文獻

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  • William Stevenson,「Elements of Power System Analysis 3rd ed.」,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
  1. ^ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.